今天想與各位夥伴分享的，是個人在準備六年級尺規作圖，進行三角形四心作圖的教學研究中，基於之前對人智學粗淺的理解，在二者相互映照，彼此共振的情況下，激蕩出的想法。
撰文：張益民老師
三角形，如同圓形、正方形與長方形，是一般小學生，甚至是幼兒園的小小娃兒，最早接觸並優先認知的多邊形之一。後續的數學幾何課程，除了三角形的面積公式、角度與基本性質，在小學與初中階段，還有邊長不等關係、勾股定理、全等定理、相似性質，以及四個心(由三條具有相同特定性質的直線的共同交點)的相關性質要學習。今天想與各位夥伴分享的，是個人在準備六年級尺規作圖，進行三角形四心作圖的教學研究中，基於之前對人智學粗淺的理解，在二者相互映照，彼此共振的情況下，激蕩出的想法。文中所提到的數理概念，或許有人覺得陌生卻又似曾相識，也有人輕車熟路更了如指掌，無論你是什麼背景，還請各位耐著性子，聽我一切細說從頭。
首先科普一些數學先備知識～若從三條邊的關係來說，三角形可被分類為等邊(正)三角形，等腰三角形與不等邊三角形；若是以各內角大小作分類，三角形又可分為鈍角三角形、直角三角形與銳角三角形。當然啰，我們也可以結合這兩種特徵，宣稱有等腰直角三角形，不等邊的鈍角三角形，而等邊三角形必為銳角三角形等等。舉個例子，讓大家小試身手，也幫各位的腦袋瓜子，來個簡單的熱身。請問：若有一等腰三角形，已知其中一內角是40°，那另外兩個內角的度數分別是多少呢？各位可以隨手取筆畫圖或在腦海中創造圖像，自行輕鬆解題。唯一要提醒大家的是——莫以為朋友的答案與你不同，就著急追問：那是誰錯了？因為這答案可是有兩種情況哦。
在數學幾何領域，我們學習使用尺規作圖，作出某線段的中垂線，並延伸應用此能力，作出通過在線或線外一定點的垂線，藉此技巧我們就可以輕鬆地作出任意三角形各邊上的高了。接著，我們學會了作出某定角的角平分線；配合正多邊形性質，作出多種特定的角度，並想辦法作出最小整數角度。至此，中垂線作圖與分角線作圖的能力，已經熟稔並得到充分練習。而中垂線與角平分線的幾何性質，也已經深植於同學的腦海中。接下來，也是根基於這兩種重要性質與三角形的工作，我們要討論的主角終於要上場了。
作出三角形三邊的中垂線。因為中垂線性質，三條中垂線會交於同一點，若以此點為圓心，取此點到任一頂點的距離為半徑，我們能作出包覆此三角形的最小圓，它剛好通過該三角形的三個頂點，則此圓稱為這個三角形的外接圓。此時，三條中垂線的交點到三個頂點等距離，這樣的圓心，我們稱它為外心。然後，我們分別作三個內角的角平分線，因為分角線性質，三條分角線也會交於同一點，再以此點為圓心，取交點到此分角線的夾邊的距離為半徑來作圓，我們可以作出三角形內部最大的圓，它恰巧與各邊長相切於一點，這圓稱作三角形的內切圓，這圓心是為內心，它到三角形三個邊的距離都相等。另外，當我們連接頂點與對邊中點，能將三角形的面積一分為二，這條線段稱為中線。當我們畫出三條中線，神奇地，它們也會交於同一點，三中線將原三角形分割成面積相等的六塊小三角形了，這個交點稱作重心，是三角形的質量中心，是我們精準地施力，就能平穩地撐起整個三角形的一個支點。最後，通過頂點往各相應對邊作垂線，我們可以作出三角形三個不同邊上的高。正當此時，神奇的現象再度發生，三條不同的高線，竟然也會交於同一點，此交點稱作垂心，為「垂心組」與「四點共圓」提供不少重要的幾何性質。至此，三角形重要的四個「心」，我們一一介紹完畢，希望它們各自的作圖法與重要性質，各位都能熟記心中。
接下來請各位讀者，試著同步想像，理解我娓娓道來的一些基本性質。對於等邊三角形而言，這四心必然是同一點的～沒毛病吧？那如果是等腰三角形呢？這四點必然都在頂角平分線上～這你應該會認同吧？若是在不等邊的三角形中作圖呢？這時我會建議各位可以實際畫圖——透過準確的作圖技術，我們會發現一個驚人的規律：垂心、重心與外心，竟然能三點共線，而內心卻是獨立於這線段以外。瑞士數學家歐拉是第一個發現這個現象的人，也是他第一個證明了：重心必定落在垂心與外心所成的線段上，而且是在線段中靠近外心這邊的三分點上，這就是著名的歐拉線與其性質。
累積不同三角形在四心作圖的經驗，我們容易直觀看見，並留下這樣的心得～隨著三角形的不同，四心的位置會有所變化。在直角三角形中，外心會落在斜邊中點，而垂心會跑到直角頂點上待著；若是遇上鈍角三角形，這外心與垂心的位置，就都會跑到三角形的外面去了。重點是：外心是從最大邊的中點出界，隨著邊長越來越長，外心就離最大邊越來越遠……反觀相對，垂心是從直角頂點出格，隨著角度從直角變成鈍角而有如下變化：當角度越變越大，垂心也就離開頂點，以外心離開重心的二倍速度，越走越遠……當然，其中我們也同步發現，無論三角形是何種樣貌，內心與重心始終不離不棄，儘管落腳點會有變化，但總不至於離開三角形，就連到任意邊長去待上一會兒，都是不曾有過的情況。
行文至此，本文的重點終於要上場！若是我們將三角形的四心，與人智學裡所談到人的四元性相對應：外心─物質身，外心是人對外在物質世界展開探索傾向與能力；重心─以太生命身，重心能將面積均分且平穩支撐，它就如同生命身一般，是人們穩定節奏均衡發展的能量泉源；內心─星芒身，作為一個人最具個體色彩的獨特存在，就如同我們的心，大部分人偏左偶有偏右，但就是不會居中，每個人用心體驗覺察這大千世界，自有各人好惡的品味與評判；垂心─自我，個體生活意義的最高指導，更是自我生命意義的價值標準，如同馬斯洛的需求層次理論所稱，人一生最高的追求就是自我價值的實現。那垂心─自我的崇高引領，如同夜空中的北極星，不偏不倚，正直敞亮，隨時幫助深陷物質世界，糾葛在各種紛擾的人們，在瞬息間給予精神世界最深刻的指導。
除了以上這樣的相互對應，我們還可以從男女性別的特質來談談。外心─物質身以及垂心─自我，這二者是比較傾向男性特質的。因為男性通常擁有較為強健的體魄，勇於嘗試創新，向外開疆闢土，不怕挑戰未知，能持續探索新奇事物。男性也習慣使用理性思維，進行解析研究的工作，能清晰地表達個人見解，捍衛並堅守個人的信念，但也容易故步自封固執己見，甚至到執迷不悟的地步。工作場合中與友人閑聊，常有碰得滿頭包的男同志，在傷痕纍纍的情況下，嘴邊還是念念有詞地說……讓我再試試，我就偏不信這個邪！哎！身作男人，多不容易啊！ 至於女性的特質，照料生活，打點日常，傳承生命，維護均衡，這都與重心─生命身對三角形的關係頗為類似；而內心─星辰身，對周邊人事物的敏銳覺察，能細膩地補捉多元的情緒脈動，有豐沛的感受力與共情能力，更能清晰表達個人情感，理解他人內心無法言說的感受，成為大家情感依賴的安全中心。加上生命身與星辰身一直堅守本體，就如同無論三角形如何變化，重心與內心總是穩定地待在三角形內一般，一一都展示著細膩顧家的女性特質。到此，四心與四身的搭配，真是恰如其分的圓滿融洽。你覺得呢？
回到源頭，如果試著把一個人看作某特定的三角形，那三角形的三個邊，我們把它們分別視作人的意志、情感與思考表現，而其長度大小，代表相應能力的強弱。無論獨立的個體在意志、情感或思考能力上強弱如何，就像特定三角形，三個邊長的長度各有異同。首先以太生命身─重心與星辰身─內心，還是一如既往，仍然謹守本分，展示女性堅韌留守的特質，永遠停在三角形內，絕不翻騰外移，而三個邊長若是各有千秋，也代表著個體的三元能力自帶優劣。然後對這萬紫千紅迷人世界的探索，人們總是以自己最優勢的能力來切入，如同外心─物質身會先往最大邊移靠，當三邊長符合勾股定理時，外心─物質身會來到斜邊中點，然後隨著這邊長越長越大，外心─物質身就會離開最大邊越走越遠……越走越遠……在此同時，當外心來到斜邊中點，我們的垂心─自我也正在直角頂點上，它從三角形內部往最大角遷移，在角度增大成為直角時，垂心恰巧來到了直角頂點上，隨著角度超過了90°，它經過了頂點，就往外面快速移動，義無反顧地離開最大角……至此，走了這樣上下一周天的旅程，有了這樣的一個全局觀的圖像，內心是否感到酣暢淋漓且心曠神怡啊！
當我們建立了這樣的關聯與說明後，在這裡，我們不禁要問：作為正三角形，必然存在四心共點，也就是當意志、情感與思考都均衡，四身歸一統時，這狀態的人們，該是什麼精神模樣？又是怎樣的物質存在？再讓我們也試著思考，當直角三角形的斜邊水平橫放，讓直角置於上方，然後隨著角度越大，外心與垂心就離開了三角形，雙方將以重心為據點，當外心探索物質世界涉入愈深，垂心反應精神世界，來自自我價值的評判與認可，也就迴響得愈快。特別在兩邊之和恰等於第三邊的三角形中（請各位暫且接受它是一種極特別的三角形，或是將它視為生成任意三角形前的一種原始胚形）試問：面對這樣的三角形，那墜落塵世的外心何在？遠眺精神的垂心何在？當真有這樣三元能力相符的人們出現，其自體物質身將會流落何方？而那自我信念的指引將更在何方？
文至尾聲，若是你不以為然，在此誠懇對你說聲抱歉，耽誤你寶貴時間，還請你一笑置之；若是你感覺個中頗有玩味，值得深思，也歡迎你繼續探索並持續分享。暑假期間，我將在成都、貴陽與青島三地，展開數學專科師培的工作，也許就在上述的某個地點，我們可以在課下或餐點飲食中，進行更細緻的交流。最後，這兒還有個終極問題，值得有興趣的同好，再深入探討——
如果將人們視為各種可能的三角形，請你靜心安神，坦誠自問：
自己會是那種三角形呢？而三個邊長又分別代表什麼能力呢？
是嗎？
能改變嗎？
張益民/廣州/2022暑假師培開訓前
