今天想与各位伙伴分享的，是个人在准备六年级尺规作图，进行三角形四心作图的教学研究中，基于之前对人智学粗浅的理解，在二者相互映照，彼此共振的情况下，激荡出的想法。
撰文：张益民老师
三角形，如同圆形、正方形与长方形，是一般小学生，甚至是幼儿园的小小娃儿，最早接触并优先认知的多边形之一。后续的数学几何课程，除了三角形的面积公式、角度与基本性质，在小学与初中阶段，还有边长不等关系、勾股定理、全等定理、相似性质，以及四个心(由三条具有相同特定性质的直线的共同交点)的相关性质要学习。今天想与各位伙伴分享的，是个人在准备六年级尺规作图，进行三角形四心作图的教学研究中，基于之前对人智学粗浅的理解，在二者相互映照，彼此共振的情况下，激荡出的想法。文中所提到的数理概念，或许有人觉得陌生却又似曾相识，也有人轻车熟路更了如指掌，无论你是什么背景，还请各位耐着性子，听我一切细说从头。
首先科普一些数学先备知识～若从三条边的关系来说，三角形可被分类为等边(正)三角形，等腰三角形与不等边三角形；若是以各内角大小作分类，三角形又可分为钝角三角形、直角三角形与锐角三角形。当然啰，我们也可以结合这两种特征，宣称有等腰直角三角形，不等边的钝角三角形，而等边三角形必为锐角三角形等等。举个例子，让大家小试身手，也帮各位的脑袋瓜子，来个简单的热身。请问：若有一等腰三角形，已知其中一内角是40°，那另外两个内角的度数分别是多少呢？各位可以随手取笔画图或在脑海中创造图像，自行轻松解题。唯一要提醒大家的是——莫以为朋友的答案与你不同，就着急追问：那是谁错了？因为这答案可是有两种情况哦。
在数学几何领域，我们学习使用尺规作图，作出某线段的中垂线，并延伸应用此能力，作出通过在线或线外一定点的垂线，藉此技巧我们就可以轻松地作出任意三角形各边上的高了。接着，我们学会了作出某定角的角平分线；配合正多边形性质，作出多种特定的角度，并想办法作出最小整数角度。至此，中垂线作图与分角线作图的能力，已经熟稔并得到充分练习。而中垂线与角平分线的几何性质，也已经深植于同学的脑海中。接下来，也是根基于这两种重要性质与三角形的工作，我们要讨论的主角终于要上场了。
作出三角形三边的中垂线。因为中垂线性质，三条中垂线会交于同一点，若以此点为圆心，取此点到任一顶点的距离为半径，我们能作出包覆此三角形的最小圆，它刚好通过该三角形的三个顶点，则此圆称为这个三角形的外接圆。此时，三条中垂线的交点到三个顶点等距离，这样的圆心，我们称它为外心。然后，我们分别作三个内角的角平分线，因为分角线性质，三条分角线也会交于同一点，再以此点为圆心，取交点到此分角线的夹边的距离为半径来作圆，我们可以作出三角形内部最大的圆，它恰巧与各边长相切于一点，这圆称作三角形的内切圆，这圆心是为内心，它到三角形三个边的距离都相等。另外，当我们连接顶点与对边中点，能将三角形的面积一分为二，这条线段称为中线。当我们画出三条中线，神奇地，它们也会交于同一点，三中线将原三角形分割成面积相等的六块小三角形了，这个交点称作重心，是三角形的质量中心，是我们精准地施力，就能平稳地撑起整个三角形的一个支点。最后，通过顶点往各相应对边作垂线，我们可以作出三角形三个不同边上的高。正当此时，神奇的现象再度发生，三条不同的高线，竟然也会交于同一点，此交点称作垂心，为「垂心组」与「四点共圆」提供不少重要的几何性质。至此，三角形重要的四个「心」，我们一一介绍完毕，希望它们各自的作图法与重要性质，各位都能熟记心中。
接下来请各位读者，试着同步想象，理解我娓娓道来的一些基本性质。对于等边三角形而言，这四心必然是同一点的～没毛病吧？那如果是等腰三角形呢？这四点必然都在顶角平分线上～这你应该会认同吧？若是在不等边的三角形中作图呢？这时我会建议各位可以实际画图——透过准确的作图技术，我们会发现一个惊人的规律：垂心、重心与外心，竟然能三点共线，而内心却是独立于这线段以外。瑞士数学家欧拉是第一个发现这个现象的人，也是他第一个证明了：重心必定落在垂心与外心所成的线段上，而且是在线段中靠近外心这边的三分点上，这就是著名的欧拉线与其性质。
累积不同三角形在四心作图的经验，我们容易直观看见，并留下这样的心得～随着三角形的不同，四心的位置会有所变化。在直角三角形中，外心会落在斜边中点，而垂心会跑到直角顶点上待着；若是遇上钝角三角形，这外心与垂心的位置，就都会跑到三角形的外面去了。重点是：外心是从最大边的中点出界，随着边长越来越长，外心就离最大边越来越远……反观相对，垂心是从直角顶点出格，随着角度从直角变成钝角而有如下变化：当角度越变越大，垂心也就离开顶点，以外心离开重心的二倍速度，越走越远……当然，其中我们也同步发现，无论三角形是何种样貌，内心与重心始终不离不弃，尽管落脚点会有变化，但总不至于离开三角形，就连到任意边长去待上一会儿，都是不曾有过的情况。
行文至此，本文的重点终于要上场！若是我们将三角形的四心，与人智学里所谈到人的四元性相对应：外心─物质身，外心是人对外在物质世界展开探索倾向与能力；重心─以太生命身，重心能将面积均分且平稳支撑，它就如同生命身一般，是人们稳定节奏均衡发展的能量泉源；内心─星芒身，作为一个人最具个体色彩的独特存在，就如同我们的心，大部分人偏左偶有偏右，但就是不会居中，每个人用心体验觉察这大千世界，自有各人好恶的品味与评判；垂心─自我，个体生活意义的最高指导，更是自我生命意义的价值标准，如同马斯洛的需求层次理论所称，人一生最高的追求就是自我价值的实现。那垂心─自我的崇高引领，如同夜空中的北极星，不偏不倚，正直敞亮，随时帮助深陷物质世界，纠葛在各种纷扰的人们，在瞬息间给予精神世界最深刻的指导。
除了以上这样的相互对应，我们还可以从男女性别的特质来谈谈。外心─物质身以及垂心─自我，这二者是比较倾向男性特质的。因为男性通常拥有较为强健的体魄，勇于尝试创新，向外开疆辟土，不怕挑战未知，能持续探索新奇事物。男性也习惯使用理性思维，进行解析研究的工作，能清晰地表达个人见解，捍卫并坚守个人的信念，但也容易故步自封固执己见，甚至到执迷不悟的地步。工作场合中与友人闲聊，常有碰得满头包的男同志，在伤痕累累的情况下，嘴边还是念念有词地说……让我再试试，我就偏不信这个邪！哎！身作男人，多不容易啊！ 至于女性的特质，照料生活，打点日常，传承生命，维护均衡，这都与重心─生命身对三角形的关系颇为类似；而内心─星辰身，对周边人事物的敏锐觉察，能细腻地补捉多元的情绪脉动，有丰沛的感受力与共情能力，更能清晰表达个人情感，理解他人内心无法言说的感受，成为大家情感依赖的安全中心。加上生命身与星辰身一直坚守本体，就如同无论三角形如何变化，重心与内心总是稳定地待在三角形内一般，一一都展示着细腻顾家的女性特质。到此，四心与四身的搭配，真是恰如其分的圆满融洽。你觉得呢？
回到源头，如果试着把一个人看作某特定的三角形，那三角形的三个边，我们把它们分别视作人的意志、情感与思考表现，而其长度大小，代表相应能力的强弱。无论独立的个体在意志、情感或思考能力上强弱如何，就像特定三角形，三个边长的长度各有异同。首先以太生命身─重心与星辰身─内心，还是一如既往，仍然谨守本分，展示女性坚韧留守的特质，永远停在三角形内，绝不翻腾外移，而三个边长若是各有千秋，也代表着个体的三元能力自带优劣。然后对这万紫千红迷人世界的探索，人们总是以自己最优势的能力来切入，如同外心─物质身会先往最大边移靠，当三边长符合勾股定理时，外心─物质身会来到斜边中点，然后随着这边长越长越大，外心─物质身就会离开最大边越走越远……越走越远……在此同时，当外心来到斜边中点，我们的垂心─自我也正在直角顶点上，它从三角形内部往最大角迁移，在角度增大成为直角时，垂心恰巧来到了直角顶点上，随着角度超过了90°，它经过了顶点，就往外面快速移动，义无反顾地离开最大角……至此，走了这样上下一周天的旅程，有了这样的一个全局观的图像，内心是否感到酣畅淋漓且心旷神怡啊！
当我们建立了这样的关联与说明后，在这里，我们不禁要问：作为正三角形，必然存在四心共点，也就是当意志、情感与思考都均衡，四身归一统时，这状态的人们，该是什么精神模样？又是怎样的物质存在？再让我们也试着思考，当直角三角形的斜边水平横放，让直角置于上方，然后随着角度越大，外心与垂心就离开了三角形，双方将以重心为据点，当外心探索物质世界涉入愈深，垂心反应精神世界，来自自我价值的评判与认可，也就回响得愈快。特别在两边之和恰等于第三边的三角形中（请各位暂且接受它是一种极特别的三角形，或是将它视为生成任意三角形前的一种原始胚形）试问：面对这样的三角形，那坠落尘世的外心何在？远眺精神的垂心何在？当真有这样三元能力相符的人们出现，其自体物质身将会流落何方？而那自我信念的指引将更在何方？
文至尾声，若是你不以为然，在此诚恳对你说声抱歉，耽误你宝贵时间，还请你一笑置之；若是你感觉个中颇有玩味，值得深思，也欢迎你继续探索并持续分享。暑假期间，我将在成都、贵阳与青岛三地，展开数学专科师培的工作，也许就在上述的某个地点，我们可以在课下或餐点饮食中，进行更细致的交流。最后，这儿还有个终极问题，值得有兴趣的同好，再深入探讨——
如果将人们视为各种可能的三角形，请你静心安神，坦诚自问：
自己会是那种三角形呢？而三个边长又分别代表什么能力呢？
是吗？
能改变吗？
张益民/广州/2022暑假师培开训前
